Matemáticas

¿Qué son las matemáticas?

Las matemáticas son consideradas una de las ciencias más importantes, y data desde el nacimiento de la humanidad misma.

La matemática (del griego μάθημα, máthema: ciencia, conocimiento, aprendizaje, μαθηματικóς, mathematikós: Amante del conocimiento) es la ciencia  abstracta, no experimental, que estudia las propiedades de los entes abstractos, como los números, figuras geométricas o símbolos, y sus relaciones.

Las disciplinas más importantes que configuran las matemáticas de hoy en día son, según algunos autores, la geometría, el álgebra, el análisis matemático, la estadística y la topología. Otra forma de subdividir esta ciencia es en matemáticas puras, que estudian problemas teóricos, sin utilidad práctica inmediata, y matemáticas aplicadas, motivadas por algún problema de física, química, ingeniería,…, aunque hay muchos matemáticos a los que esta división les parece demasiado artificial o incluso totalmente falsa.

La matemática es un arte, pero también una ciencia de estudio. Informalmente, se puede decir que la matemática es el estudio de los «números y símbolos». Es decir, es la investigación de estructuras abstractas definidas axiomáticamente utilizando la lógica y la notación matemática. Es también la ciencia de las relaciones espaciales y cuantitativas. Se trata de relaciones exactas que existen entre cantidades y magnitudes, y de los métodos por los cuales, de acuerdo con estas relaciones, las cantidades buscadas son deducibles a partir de otras cantidades conocidas o presupuestas. Otros puntos de vista pueden encontrarse en la Filosofía matemática.

Entonces, se encarga del estudio de las relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades, y de las operaciones lógicas utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas.

Las matemáticas son utilizadas en cualquiera de las ciencias existentes, debido a su gran utilidad en la sociedad humana.

Aunque la matemática sea la supuesta «reina de las ciencias», ella misma no se considera una ciencia natural. Principalmente, los matemáticos definen e investigan estructuras y conceptos abstractos por razones puramente internas a la matemática, debido a que tales estructuras pueden proveer, por ejemplo, una generalización elegante, o una útil herramienta para cálculos frecuentes. Además, muchos matemáticos estudian sus áreas de preferencia simplemente por razones estéticas, viendo así la matemática como una forma de arte en vez de una ciencia práctica o aplicada. Sin embargo, las estructuras que los matemáticos investigan frecuentemente sí tienen su origen en las ciencias naturales, y muchas veces encuentran sus aplicaciones en ellas, particularmente en la Física.

En el pasado las matemáticas eran consideradas como la ciencia de la cantidad, referida a las magnitudes (como en la geometría), a los números (como en la aritmética), o a la generalización de ambos (como en el álgebra). Hacia mediados del siglo XIX las matemáticas se empezaron a considerar como la ciencia de las relaciones, o como la ciencia que produce condiciones necesarias. Esta última noción abarca la lógica matemática o simbólica —ciencia que consiste en utilizar símbolos para generar una teoría exacta de deducción e inferencia lógica basada en definiciones, axiomas, postulados y reglas que transforman elementos primitivos en relaciones y teoremas más complejos.

En realidad, las matemáticas son tan antiguas como la propia humanidad: en los diseños prehistóricos de cerámica, tejidos y en las pinturas rupestres se pueden encontrar evidencias del sentido geométrico y del interés en figuras geométricas. Los sistemas de cálculo primitivos estaban basados, seguramente, en el uso de los dedos de una o dos manos, lo que resulta evidente por la gran abundancia de sistemas numéricos en los que las bases son los números 5 y 10.

Se dice que la matemática abarca tres ámbitos:

• Aritmética.
• Geometría, incluyendo la Trigonometría y las Secciones cónicas.
• Análisis matemático, en el cual se hace uso de letras y símbolos, y que incluye el álgebra, la geometría analítica y el cálculo.

Cada una de estas categorías se divide a su vez en pura o abstracta, en donde se consideran las magnitudes o cantidades abstractamente, sin relación a la materia; y en aplicada, la cual trata las magnitudes como substancia de cuerpos materiales, y por consecuencia se relaciona con consideraciones físicas.

Historia

Las primeras señales de la utilización de esta ciencia data de más de 5,000 años, en las civilizaciones de Babilonia y Egipto.

Históricamente, las matemáticas surgieron con el fin de hacer los cálculos en el comercio, para medir la tierra y para predecir los acontecimientos astronómicos. Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma con la subdivisión amplia de las matemáticas en el estudio de la estructura, el espacio y el cambio.

Las primeras referencias a matemáticas avanzadas y organizadas datan del tercer milenio a.C., en Babilonia y Egipto. Estas matemáticas estaban dominadas por la aritmética, con cierto interés en medidas y cálculos geométricos y sin mención de conceptos matemáticos como los axiomas o las demostraciones.

Los primeros libros egipcios, escritos hacia el año 1800 a.C., muestran un sistema de numeración decimal con distintos símbolos para las sucesivas potencias de 10 (1, 10, 100…), similar al sistema utilizado por los romanos.

Los egipcios utilizaban sumas de fracciones unidad (Œ), junto con la fracción ’, para expresar todas las fracciones. Por ejemplo, “ era la suma de las fracciones ‚ y ~. Utilizando este sistema, los egipcios fueron capaces de resolver problemas aritméticos con fracciones, así como problemas algebraicos elementales.

El sistema babilónico de numeración era bastante diferente del egipcio. En el babilónico se utilizaban tablillas con varias muescas o marcas en forma de cuña (cuneiforme); una cuña sencilla representaba al 1 y una marca en forma de flecha representaba al 10 (véase tabla adjunta). Los números menores que 59 estaban formados por estos símbolos utilizando un proceso aditivo, como en las matemáticas egipcias. El número 60, sin embargo, se representaba con el mismo símbolo que el 1, y a partir de ahí, el valor de un símbolo venía dado por su posición en el número completo.

Los europeos dominaron el desarrollo de las matemáticas después del renacimiento.

Durante el siglo XVII tuvieron lugar los más importantes avances en las matemáticas desde la era de Arquímedes y Apolonio. El siglo comenzó con el descubrimiento de los logaritmos por el matemático escocés John Napier (Neper); su gran utilidad llevó al astrónomo francés Pierre Simon Laplace a decir, dos siglos más tarde, que Neper, al reducir el trabajo de los astrónomos a la mitad, les había duplicado la vida.

Sir Isaac Newton, considerado una de los más grandes e importantes cientificos de la historia, sentó las bases de la física y el cálculo.

El acontecimiento matemático más importante del siglo XVII fue, sin lugar a dudas, el descubrimiento por parte de Newton de los cálculos diferencial e integral, entre 1664 y 1666. Newton se basó en los trabajos anteriores de dos compatriotas, John Wallis e Isaac Barrow, así como en los estudios de otros matemáticos europeos como Descartes, Francesco Bonaventura Cavalieri, Johann van Waveren Hudde y Gilles Personne de Roberval. Unos ocho años más tarde, el alemán Gottfried Wilhelm Leibniz descubrió también el cálculo y fue el primero en publicarlo, en 1684 y 1686. El sistema de notación de Leibniz es el que se usa hoy en el cálculo.

El estudio de la estructura comienza con los números, inicialmente los números naturales y los números enteros.

Las reglas que dirigen las operaciones aritméticas se estudian en el álgebra elemental, y las propiedades más profundas de los números enteros se estudian en la teoría de números. La investigación de métodos para resolver ecuaciones lleva al campo del álgebra abstracta. El importante concepto de vector, generalizado a espacio vectorial, es estudiado en el álgebra lineal, y pertenece a las dos ramas de la estructura y el espacio. El estudio del espacio origina la geometría, primero la geometría euclidiana y luego la trigonometría.

La comprensión y descripción del cambio en variables mensurables es el tema central de las ciencias naturales, y el cálculo. Para resolver problemas que se dirigen en forma natural a relaciones entre una cantidad y su tasa de cambio, y de las soluciones a estas ecuaciones, se estudian las ecuaciones diferenciales.

Los números usados para representar las cantidades continuas son los números reales. Para estudiar los procesos de cambio se utiliza el concepto de función matemática. Los conceptos de derivada e integral, introducidos por Newton y Leibniz, juegan un papel clave en este estudio, que se denomina análisis.

Por razones matemáticas, es conveniente para muchos fines introducir los números complejos, lo que da lugar al análisis complejo. El análisis funcional consiste en estudiar problemas cuya incógnita es una función, pensándola como un punto de un espacio funcional abstracto.

La probabilidad y la estadística es una rama importante de las matemáticas, debido al tratamiento que le da a gran cantidad de datos que se generan en la época moderna.

Un campo importante en matemáticas aplicadas es la probabilidad y la estadística, que permiten la descripción, el análisis y la predicción de fenómenos que tienen variables aleatorias y que se usan en todas las ciencias. El análisis numérico investiga los métodos para realizar los cálculos en computadoras.

El conocimiento matemático del mundo moderno está avanzando más rápido que nunca. Teorías que eran completamente distintas se han reunido para formar teorías más completas y abstractas. Aunque la mayoría de los problemas más importantes han sido resueltos, otros como las hipótesis de Riemann siguen sin solución.

Al mismo tiempo siguen apareciendo nuevos y estimulantes problemas. Parece que incluso las matemáticas más abstractas están encontrando aplicación.

Crisis

Las matemáticas han pasado por tres crisis históricas importantes:

• El descubrimiento de la inconmensurabilidad por los griegos, la existencia de los números irracionales que de alguna forma debilitó la filosofía de los pitagóricos.
• Aparición del cálculo en el siglo XVII, con el temor de que fuera ilegitimo manejar infinitesimales.
• La tercera fue el hallazgo de las antinomias, como la de Russell o la paradoja de Berry a comienzos del siglo XX, que atacaban los mismos cimientos de la materia.

Instrumentos matemáticos

Antiguos	Nuevos
Ábaco Ábaco de Napier Regla de cálculo Regla y compás Cálculo mental	Calculadoras Ordenadores

Conceptos Errados

Lo que cuenta como conocimiento en matemáticas se determina no mediante experimentación, sino mediante demostraciones

Lo que cuenta como conocimiento en matemáticas se determina no mediante experimentación, sino mediante demostraciones. No son por lo tanto las matemáticas una rama de la física, la ciencia a la que históricamente se encuentra más emparentada, puesto que la física es una ciencia empírica. Por otro lado, la experimentación juega un papel importante en la formulación de conjeturas razonables, por lo que no se excluye a ésta de la investigación en matemáticas.

Las matemáticas no son un sistema intelectualmente cerrado, donde todo ya esté hecho. Aún existen gran cantidad de problemas esperando solución.

Matemáticas no significa contabilidad. Si bien los cálculos aritméticos son importantes en para los contadores, los avances en matématica abstracta difícilmente cambiarán su forma de llevar los libros.

Fuentes de Información Electrónicas

Enciclopedia Libre Universal en Español, disponible en web; http://enciclopedia.us.es/index.php/Matemáticas

CulturaGeneral.net, disponible en la web: http://www.culturageneral.net/matematicas/index.htm

«Matemáticas.» Microsoft® Encarta® 2009 [DVD]. Microsoft Corporation, 2008.

Bibliografía

Aleksandrov, A. D. y otros. La matemática: su contenido, métodos y significado. 3 vols. Madrid: Alianza Universidad, 3ª ed., 1979. Ofrece un amplio panorama de las matemáticas. Excelente obra.

Bouvier, Alain y George, Michel. Diccionario de matemáticas. Madrid: Akal, 1ª ed., 1984. Un excelente diccionario, muy completo y escrito con claridad.

Courant, Richard y Robbins, Herbert. ¿Qué es la matemática? Madrid: Editorial Aguilar, 5ª ed., 1979. Obra clásica en el género, amena y rigurosa. Libro imprescindible.

Davis, Philip J. y Hersh, Reuben. Experiencia matemática. Barcelona: Editorial Labor, 1ª ed., 1988. Un libro magnífico, presenta las matemáticas de una manera muy sugerente y comprensible.

Dunham, William. El Universo de las matemáticas. Madrid: Ediciones Pirámide, 1ª ed., 1995. A lo largo del libro se van recorriendo los principales momentos de la historia de las matemáticas. Libro interesante y bien escrito.

Newman, James R. Sigma. El mundo de las matemáticas. 6 vols. Barcelona: Editorial Grijalbo, 9ª ed., 1968. Se presentan 132 magníficos artículos, obra altamente recomendable.

Santaló, Luis A. La matemática: una filosofía y una técnica. Barcelona: Editorial Ariel, 1ª ed., 1994. En el libro se exponen de manera clara las principales ideas matemáticas desde una doble perspectiva: la filosófica y la técnica.